Reseña

El libro comienza con un capítulo sobre lógica matemática. Dadas las limitaciones de tiempo y del alcance que se pretende, este capítulo quiere únicamente ofrecer una vista de pájaro sobre algunos aspectos de esencial interés en matemáticas. Los comentarios finales se centran en analizar someramente cómo se aplica la lógica en matemáticas, tanto en la presentación de resultados como en los métodos de demostración.

En el segundo capítulo presentamos una teoría elemental, no axiomática, de conjuntos. Establecemos el nexo existente entre los conjuntos y la lógica de predicados e introducimos los cuantificadores. Los comentarios tratan en primer lugar, sobre el método de demostración por inducción y en segundo lugar, sobre la dificultad que supone precisar el concepto de conjunto.

El tercer capítulo estudia las relaciones de equivalencia y de orden en un conjunto, así como las aplicaciones entre conjuntos. El concepto de biyección nos permite introducir el concepto de cardinal, que se retomará en el quinto capítulo. Finalmente los comentarios del capítulo versan sobre el axioma de elección, el lema de Zorn y sobre cómo se pueden ordenar los números cardinales.

El cuarto capítulo introduce, brevemente, algunas estructuras algebraicas, grupos, anillos y cuerpos, y los homomorfismos respectivos. En los comentarios finales se introducen la suma y el producto de números cardinales.

Los últimos capítulos se dedican a la construcción de los conjuntos numéricos usuales. Los números naturales se construyen axiomáticamente mediante los axiomas de Peano y nos conducen a los cardinales finitos e infinitos. En los comentarios finales del capítulo se ve cómo el conjunto de los cardinales finitos constituye un modelo para los números naturales. Los números enteros se introducen para efectuar sin limitaciones la sustraccién. Se completa a los números racionales donde la división sea también ejecutable sin limitaciones. Se ha optado por la introducción axiomática de R como cuerpo ordenado, extensión de los números racionales, en el que se satisface el axioma del supremo. En los comentarios finales estudiamos la construcción de los números reales mediante cortaduras de Dedekind. Finalmente, los números complejos, denotados por C se han construido como el “menor” cuerpo extensión de los mimeros reales de modo que la ecuación x2 + 1 = 0 tenga al menos una solución. Los comentarios finales mencionan la completitud algebraica de C.